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二次函数在中学数学中起着十分重要的作用，也是初等数学中遇到比较多的函数之一，形如 的函数，它的图象简单，性质易于掌握，又与二次方程、二次不等式有联系，与之相关的理论如判别式，韦达定理，求根公式等又是中学教材的重点内容，因此有必要进一步认识二次函数的性质，研究与二次函数有关的解题规律、方法与技巧．
二次函数 的主要性质：
定义域为 ；图象是对称轴平行于 轴（或与 轴重合）的抛物线；当 ＞0时，抛物线开口向上方，函数的值域是 ，当 （－∞, ）时, 是减函数,当 [－ ,＋∞]时， 是增函数；当 ＜0时，抛物线开口向下方，函数的值域是 ，当 （－∞, ）时, 是增函数,当 [－,＋∞）时， 是减函数．当 ＞0时，函数的图象与 轴有两个不同的交点，它们分别是（ ），（ ）； =0时，函数的图象与 轴有两个重合的交点（－ ,0）,这时也称抛物线与 轴相切, ＜0时,函数的图象与 轴没有交点．
函数 的图象是连续的．一个有用的结论是，在区间[ ]端点处的函数值异号，即 ＜0时,方程 =0在（ ）内恰有一个实根．抛物线的凸性也有一定用途， ＞0时，函数的图象是下凸形曲线，即对于任意 ，有 ≤ ； ＜0时, 函数的图象是上凸形曲线，即对于任意 ，有 ≥ 利用二次函数图象的凸性和单调性，在某些与二次方程的范围有关的问题中可避免使用判别式和求根公式．
一．含有参变数的二次函数
对于二次函数 ，当 、 、 固定时，此二次函数唯一确定，它的图象是一条抛物线；若 、 固定时， 可以在某个范围内变动，则它的图象可能是“一族”抛物线，对于 、 、 的不同范围和条件，得到的抛物线族具有不同的特征，如何确定这些特征，就因题而异了．